Joseph Kudra werd geboren in Chicago, Illinois en begon zijn opleiding op negenjarige leeftijd aan het American Dance Center onder leiding van Jack en Kathleen Villari. Als professionele danser werkte hij in verschillende gezelschappen, zoals River North Chicago Dance Company, DanceWorks Chicago, Luna Negra Dance Theatre, Cedar Lake Contemporary Ballet, BODYTRAFFIC, Ate9 Dance Company en het meest recent met Aszure Barton & Artists. Kudra danste in het werk van choreografen als Danielle Agami, Aszure Barton, Robert Battle, Sidi Larbi Cherkaoui, Alexander Ekman, Andonis Foniadakis, Emanuel Gat, Johan Inger, Jiří Kylián, Anton Lachky, Arthur Pita, Crystal Pite, Victor Quijada, Gustavo Ramirez Sansano, Hofesh Shechter, Richard Siegel en Jo Stromgren. In 2017 voegde Kudra zich bij Eastman als vervangend danser in Satyagraha en daarna als danser in Pelléas et Mélisande, een opera geregisseerd door Sidi Larbi Cherkaoui, Damien Jalet en Marina Abramovic. In 2018 trad hij toe tot Ballet Vlaanderen.